Los números irracionales, como indica su nombre, son aquellos que no pueden expresarse como una fracción (o razón de dos números) (ver entrada "La raíz de 2 es irracional"), y cuyo desarrollo decimal tiene infinitas cifras que no se repiten. Por tanto, son diferentes de los números decimales que se obtienen al dividir el numerador y el denominador de una fracción, que pueden tener infinitas cifras, pero con un grupo de cifras que se repite indefinidamente (período).
Podemos considerar que un número irracional está definido cuando tenemos un procedimiento preciso y sistemático (un algoritmo) para obtener todas sus cifras decimales. Así, se pueden obtener todas las cifras que se desee de la raíz de 2, por ejemplo, repitiendo indefinidamente el algoritmo del cálculo de la raíz cuadrada.
En el caso de pi, se pueden obtener tantas cifras como se desee mediante una serie, que es una suma de infinitos términos cuyo valor va siendo cada vez menor. Cuántos más términos calculemos, más precisión tendrá el cálculo. Un ejemplo de serie es la siguiente:
1+1/2+1/4+1/8+1/16+............
Cuántos más términos se sumen, más se parecerá la suma a 2, que es el resultado que obtendríamos si sumáramos los infinitos términos de la suma.
Desde el siglo XVII, se han descubierto infinidad de series para el cálculo de pi. Una de las más sencillas es la serie de Gregory, que se explica en este artículo de la Wikipedia. De acuerdo con ella, el valor de pi lo aproximaremos con la serie siguiente donde x es la inversa de la raíz de 3:
Pi=6*(x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+.....)
Aquí tenéis una hoja de cálculo de Open Office en la que se calcula pi por este procedimiento. Se observa, en la Página 1, que sumando solamente 6 términos de la suma ya hay dos cifras válidas. Sumando 10 (página 2) se obtiene ya el valor 3,14159, y sumando 20, en la página 3, se obtiene para pi la aproximación 3,14159265, que no está nada mal. La hoja de cálculo se puede descargar de aquí.
No hay comentarios:
Publicar un comentario